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高二双曲线概念

定义

数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离的差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。

[编辑本段]● 双曲线的第二定义:

x=a^2/c (ca0)

平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

注意：定点要在直线外；比值大于1

·双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a0,b0,c^2=a^2+b^2,动点与两个定点距离之差的绝对值为定值2a

[编辑本段]·几何性质：

1、取值区域：x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0) A’(a,0) AA’叫做双曲线的实轴，长2a；

B(0,-b) B’(0,b) BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。

4、渐近线：

横轴：y=±(b/a)x

竖轴：y=±(a/b)x

5、离心率：

e=c/a 取值范围：（1，+∞)

6 双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率

7 双曲线焦半径公式：圆锥曲线上任意一点到焦点距离。

过右焦点的半径r=|ex-a|

过左焦点的半径r=|ex+a|

8 等轴双曲线 双曲线的实轴与虚轴长相等

2a=2b e=√2

9 共轭双曲线

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 与 (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 叫共轭双曲线

（1）共渐近线

（2）e1+e2=2√2

10 准线： x=±a^2/c,或者y=±a^2/c

11。通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）：2b^2/a

12.焦点弦长公式：2pe/(1-e^2cos^2θ) [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]

13.d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]

推导如下：

由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)

得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k

分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]

稍加整理即得：

|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

[编辑本段]双曲线的标准公式为：

X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a0,b0)

而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的

因为xy = c的对称轴是 x=0, y=0 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是 y=x, y=-x

所以应该旋转45度

设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）

(a为双曲线渐进线的倾斜角)

则有

X = xcosa + ysina

Y = - xsina + ycosa

取 a = π/4

则

X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2

= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2

= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)

= 2xy.

而xy=c

所以

X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c0)

Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c0)

由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数

乐乐课堂曲线运动的条件

曲线运动的条件: 运动物体所受合外力的方向 跟其速度方向不在一条直线 上时,物体做曲线运动。

_ A vA FB F F A o v F vB v B 物体受到的合外力的方向与速度方 向不在同一条直线上.合外力的方向 指向曲线弯曲的内侧。

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_哂涝对诤贤饬_退俣确较虻募薪抢铮呦喽院贤饬?(F合）上凸，相对速度方向（V）下凹。（做曲线运动的物体，其轨道向合力所指的方向弯曲，若已知物体的曲线运动轨迹，可判断出物体所受合力的大致方向）

高二数学 双曲线 问下为什么能这样设 双曲线方程（ 解法1引入λ ？？？why？）

可以这样设的，这是同焦点的双曲线系方程，保证c²=a²+b²，但是必须注意这样设的双曲线方程的λ取值范围，如本例中就有：16-λ0，4+λ0，即 -4λ16

如果你愿意，也可以设为：16+λ 和 4-λ ，不过这时候λ的取值范围就要变为 -16λ4 了

学习愉快！